Formel for å beregne studentens T-fordeling
Formelen for å beregne T-fordeling (som også er populært kjent som Studentens T-fordeling) vises som å trekke populasjonsgjennomsnittet (gjennomsnittet av andre prøven) fra prøvene gjennomsnittet (gjennomsnittet av første prøven) som er (x̄ - μ) som er da delt på standardavviket for middel som opprinnelig er delt av kvadratroten til n som er antall enheter i prøven (s ÷ √ (n)).
T-fordelingen er en slags fordeling som ser nesten ut som normalfordelingskurven eller bjelkekurven, men med litt fetere og kortere hale. Når prøvestørrelsen er liten, vil denne fordelingen bli brukt i stedet for normalfordelingen.
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
Hvor,
- x̄ er gjennomsnittet av prøven
- μ er populasjonsgjennomsnittet
- s er standardavviket
- n er størrelsen på den gitte prøven
Beregning av T-fordeling
Beregningen av studentens t-fordeling er ganske enkel, men ja, verdiene kreves. For eksempel trenger man populasjonsgjennomsnittet, som er universets middel, som ikke er noe annet enn gjennomsnittet av befolkningen, mens prøvenes gjennomsnitt kreves for å teste ektheten av befolkningen, betyr om utsagnet som hevdes på grunnlag av befolkningen virkelig er sant og prøve hvis noen tatt vil representere den samme påstanden. Så t-fordelingsformelen her trekker prøvenes gjennomsnitt fra populasjonsgjennomsnittet og deler den deretter med standardavvik og multipliserer med kvadratroten av prøvestørrelsen for å standardisere verdien.
Men siden det ikke er noe område for t-fordelingsberegning, kan verdien gå rart, og vi vil ikke kunne beregne sannsynligheten da studentens t-fordeling har begrensninger for å komme til en verdi, og derfor er den bare nyttig for mindre utvalgstørrelse . For å beregne sannsynligheten etter å ha kommet til en poengsum, må man også finne verdien av den fra studentens t-fordelingstabell.
Eksempler
Eksempel 1
Vurder følgende variabler er gitt til deg:
- Befolkningsgjennomsnitt = 310
- Standardavvik = 50
- Størrelsen på prøven = 16
- Eksempel gjennomsnitt = 290
Beregn t-fordelingsverdien.
Løsning:
Bruk følgende data for beregning av T-fordeling.
Så, beregningen av T-fordelingen kan gjøres som følger-
Her er alle verdiene gitt. Vi trenger bare å innlemme verdiene.
Vi kan bruke t-fordelingsformelen
Verdien av t = (290 - 310) / (50 / √16)
T-verdi = -1,60
Eksempel 2
SRH-selskapet hevder at de ansatte på analytikernivå tjener i gjennomsnitt $ 500 per time. Et utvalg på 30 ansatte på analytikernivå velges, og deres gjennomsnittlige inntekt per time var $ 450, med et prøveavvik på $ 30. Og antar at deres påstand er sant, beregne t-fordelingsverdien, som skal brukes til å finne sannsynligheten for t - fordeling.
Løsning:
Bruk følgende data for beregning av T-fordeling.
Så, beregningen av T-fordelingen kan gjøres som følger-
Her er alle verdiene gitt; vi trenger bare å innlemme verdiene.
Vi kan bruke t-fordelingsformelen
Verdien av t = (450 - 500) / (30 / √30)
T-verdi = -9,13
Derfor er verdien for t-poeng -9,13
Eksempel 3
Universal college board hadde administrert en IQ-nivå test til 50 tilfeldig utvalgte professorer. Og resultatet de fant ut av det var den gjennomsnittlige IQ-poengsummen var 120 med en varians på 121. Anta at t-poengsummen er 2.407. Hva betyr populasjonen for denne testen, som vil rettferdiggjøre t-verdien som 2.407?
Løsning:
Bruk følgende data for beregning av T-fordeling.
Her er alle verdiene gitt sammen med t-verdien; vi må beregne populasjonsgjennomsnittet i stedet for t-verdien denne gangen.
Igjen vil vi bruke de tilgjengelige dataene og beregne populasjonsmidlene ved å sette inn verdiene gitt i formelen nedenfor.
Eksempelgjennomsnittet er 120, populasjonsmidlet er ukjent, standardavviket til prøven vil være kvadratroten til variansen, som ville være 11, og prøvestørrelsen er 50.
Så beregningen av populasjonsgjennomsnittet (μ) kan gjøres som følger-
Vi kan bruke t distribusjonsformelen.
Verdien av t = (120 - μ) / (11 / √50)
2.407 = (120 - μ) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
Befolkningens gjennomsnitt (μ) vil være -
μ = 116,26
Derfor vil verdien for populasjonsgjennomsnittet være 116,26
Relevans og bruk
T-fordelingen (og de tilknyttede t-skårverdiene) brukes i hypotesetesting når man trenger å finne ut om man skal avvise eller godta nullhypotesen.
I grafen ovenfor vil den sentrale regionen være akseptområdet, og haleregionen vil være avvisningsregionen. I denne grafen, som er en tosidig test, vil den blå skyggelagte være avvisningsregionen. Området i halen regionen kan beskrives enten med t-score eller med z-score. Ta et eksempel; bildet til venstre viser et område i halene på fem prosent (som er 2,5% på begge sider). Z-poengsummen skal være 1,96 (tar verdien fra z-tabellen), som skal representere 1,96 standardavvik fra gjennomsnittet eller gjennomsnittet. Nullhypotesen kan avvises hvis verdien av z-poengsummen er mindre enn verdien av -1,96, eller verdien av z-poengsummen er større enn 1,96.
Generelt skal denne fordelingen brukes som beskrevet tidligere når man har en mindre utvalgsstørrelse (for det meste under 30 år) eller hvis man ikke vet hva populasjonsavviket eller populasjonsstandardavviket er. For praktiske formål (som er i den virkelige verden), vil dette stort sett alltid være tilfelle. Hvis størrelsen på prøven som er gitt er stor nok, vil de to distribusjonene være omtrent like.
