Formel for å beregne standard normalfordeling
Standard normalfordeling er en type sannsynlighetsfordeling som er symmetrisk rundt gjennomsnittet eller gjennomsnittet, som viser at dataene nær gjennomsnittet eller gjennomsnittet forekommer oftere sammenlignet med dataene som er langt fra gjennomsnittet eller gjennomsnittet. En score på standard normalfordeling kan betegnes som "Z-score".
Standard normalfordelingsformel er representert som nedenfor -
Z - Score = (X - µ) / σ
Hvor,
- X er en normal tilfeldig variabel
- µ er gjennomsnittet eller gjennomsnittet
- σ er standardavviket
Da må vi utlede sannsynlighet fra tabellen ovenfor.
Forklaring
Standard normalfordeling i ord som kalles Z-fordelingen har følgende egenskaper:
- Det har et gjennomsnitt eller sier gjennomsnittet av null.
- Den har et standardavvik, som er lik 1.
Ved å bruke standard normal tabell kan vi finne ut områdene under tetthetskurven. Z-score er sår på standard normalfordeling og skal tolkes som antall standardavvik der datapunktet er under eller over gjennomsnittet eller gjennomsnittet.
En negativ Z-score skal indikere en score som er under gjennomsnittet eller gjennomsnittet, mens en positiv Z-score skal indikere at datapunktet er over gjennomsnittet eller gjennomsnittet.
Standardnormalfordelingen følger 68-95-99.70-regelen, som også kalles den empiriske regelen, og i henhold til at sekstiåtte prosent av de gitte dataene eller verdiene skal falle innenfor 1 standardavvik fra gjennomsnittet eller gjennomsnittet, mens nittifem prosent skal falle innenfor to standardavvik, og til slutt skal de nitti desimal syv prosent av verdien eller dataene falle innenfor 3 standardavvik fra gjennomsnittet eller av gjennomsnittet.
Eksempler
Eksempel 1
Tenk på gjennomsnittet gitt til deg som 850, standardavvik som 100. Du må beregne standard normalfordeling for en poengsum over 940.
Løsning:
Bruk følgende data for beregning av standard normalfordeling.
Så, beregningen av z-poengsummen kan gjøres som følger-
Z - score = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
Z-poengsummen vil være -
Z-poengsum = 0,90
Nå som vi bruker tabellen ovenfor for standard normalfordeling, har vi en verdi på 0,90 som 0,8159, og vi må beregne poengsummen over det som er P (Z> 0,90).
Vi trenger riktig vei til bordet. Derfor vil sannsynligheten være 1 - 0,8159, som er lik 0,1841.
Dermed ligger bare 18,41% av poengene over 940.
Eksempel 2
Sunita tar privatundervisningskurs for matematikkfag, og for tiden har hun rundt 100 studenter påmeldt under seg. Etter en st testen hun tok for sine studenter, fikk hun følgende gjennomsnittlige tall, scoret av dem, og har rangert dem persentil-messig.
Løsning:
Først plotter vi det vi målretter mot, som er venstre side av kuren. P (Z <75).
Bruk følgende data for beregning av standard normalfordeling.
For det må vi beregne gjennomsnittet og standardavviket først.
Beregningen av gjennomsnitt kan gjøres som følger-
Gjennomsnitt = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Gjennomsnitt = 73,50
Beregningen av standardavvik kan gjøres som følger-
Standardavvik = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Standardavvik = 16,38
Så, beregningen av z-poengsummen kan gjøres som følger-
Z - score = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
Z-poengsummen vil være -
Z-poengsum = 0,09
Nå som vi bruker tabellen ovenfor for en standard normalfordeling, har vi verdi for 0,09 som 0,5359, og det er verdien for P (Z <0,09).
Derfor 53,59% av studentene scoret under 75.
Eksempel 3
Vista limited er et showroom for elektronisk utstyr. Den ønsker å analysere forbrukeratferd. Den har rundt 10.000 kunder rundt i byen. I gjennomsnitt bruker kunden 25.000 når det gjelder butikken sin. Utgiftene varierer imidlertid betydelig ettersom kundene bruker fra 22 000 til 30 000, og gjennomsnittet av denne avviket på rundt 10 000 kunder som ledelsen av vista limited har kommet opp på, er rundt 500.
Ledelsen til Vista limited har kontaktet deg, og de er interessert i å vite hvor stor andel av kundene bruker mer enn 26 000? Anta at kundens forbrukstall er normalt fordelt.
Løsning:
Først plotter vi det vi målretter mot, som er venstre side av kuren. P (Z> 26000).
Bruk følgende data for beregning av standard normalfordeling.
Beregningen av z-poengsummen kan gjøres som følger-
Z - score = (X - µ) / σ
= (26000 - 25000) / 500
Z-poengsummen vil være-
Z-poengsum = 2
Beregningen av standard normalfordeling kan gjøres som følger-
Standard normalfordeling vil være-
Nå som vi bruker tabellen ovenfor for standard normalfordeling, har vi en verdi på 2,00, som er 0,9772, og nå må vi beregne for P (Z> 2).
Vi trenger riktig vei til bordet. Derfor vil sannsynligheten være 1 - 0,9772, som er lik 0,0228.
Derfor bruker 2,28% av forbrukerne over 26000.
Relevans og bruk
For å ta en informert og riktig beslutning, må man konvertere alle poengene til en lignende skala. Man trenger å standardisere disse poengene, konvertere dem alle til standard normalfordeling ved hjelp av Z-poengsummetoden, med et enkelt standardavvik og et enkelt gjennomsnitt eller gjennomsnittet. Dette brukes hovedsakelig innen statistikk, og også innen finans også av handelsmenn.
Mange statistiske teorier har forsøkt å modellere prisene på eiendelen (innen finans) under hovedforutsetningen om at de skal følge denne typen normalfordeling. Prisfordelinger har vanligvis en fetere hale og har derfor kurtose, som er større enn 3 i virkelige scenarier. Slike eiendeler har blitt observert å ha prisbevegelser som er større enn 3 standardavvik utover gjennomsnittet eller gjennomsnittet og oftere enn forventet antagelse i en normalfordeling.
