Hva er Log-Normal Distribution?
En log-normalfordeling er en kontinuerlig fordeling av tilfeldige variabler hvis logaritmer distribueres normalt. Med andre ord genereres den lognormale fordelingen av funksjonen til e x , der x (tilfeldig variabel) antas å være normalfordelt. I den naturlige logaritmen til e x er x, distribueres logaritmene til lognormalt fordelte tilfeldige variabler.
En variabel X fordeles normalt hvis Y = ln (X), der ln er den naturlige logaritmen.
- Y = e x
- La oss anta en naturlig logaritme på begge sider.
- lnY = ln e x som resulterer i lnY = x
Derfor kan vi si at hvis X som en tilfeldig variabel har en normalfordeling, har Y en lognormal fordeling.
Logg-normal distribusjonsformel
Formelen for sannsynlighetstetthetsfunksjonen til den lognormale fordelingen er definert av gjennomsnittet μ og standardavvik σ, som er betegnet med:
Parametere for logg-normalfordeling
Logg-normalfordelingen er preget av følgende tre parametere:
- σ , standardavviket til distribusjonsloggen, som også kalles formparameteren. Formparameteren påvirker generelt den generelle formen på den lognormale fordelingen, men den påvirker ikke plasseringen og høyden på grafen.
- m , medianen for fordelingen, også kjent som skala-parameteren.
- Θ , plasseringsparameteren som brukes til å finne grafen på x-aksen.
Gjennomsnittet og standardavviket er to hovedparametere for den lognormale fordelingen, og det er eksplisitt definert av disse to parametrene.
Følgende figur illustrerer normalfordeling og lognormalfordeling.
Fra figuren ovenfor kan vi merke oss følgende funksjoner i logg-normalfordelingen.
- Logg-normalfordelingene er positivt skjevt til høyre på grunn av lavere middelverdier og høyere varians i tilfeldige variabler i betraktning.
- Den lognormale fordelingen er alltid avgrenset nedenfra av 0, da det hjelper til med modellering av aktivaprisene, som ikke forventes å ha negative verdier.
- Den lognormale fordelingen er skjevt positivt med et stort antall små verdier og inkluderer noen få hovedverdier, noe som resulterer i at gjennomsnittet ofte er større enn modus.
Fra figuren ovenfor kunne vi observere at lognormalfordeling er avgrenset av 0, og den er positivt skjev mot høyre, noe som kan bli lagt merke til av den lange halen mot høyre. Disse to observasjonene anses å være de viktigste egenskapene til lognormale distribusjoner. I praksis viste det seg at lognormale fordelinger var svært nyttige i fordelingen av aksjepriser eller aktivakurser, mens normalfordeling er veldig nyttig for å estimere eiendelens forventede avkastning over en periode.
Eksempler på Log-Normal Distribusjon
Følgende er noen eksempler der log-normal distribusjoner kan brukes:
- Volumet av gass i energi- og petroleumsreserven.
- Volumet av melkeproduksjon.
- Mengden nedbør.
- De potensielle livene til produksjons- og industrienheter hvis sjanser for å overleve er preget av stressfrekvensen.
- Omfanget av perioder som det eksisterer en smittsom sykdom.
Anvendelse og bruk av logg-normal distribusjon
Følgende er applikasjoner og bruksområder for logg-normalfordelingen.
- Den mest brukte og populære distribusjonen er en normalfordeling, som er normalfordelt og symmetrisk og danner en klokkeformet kurve som har modellert forskjellige naturlige fra enkle til veldig komplekse.
- Men det er tilfeller der normalfordeling møter begrensninger der lognormal distribusjon lett kan brukes. Normalfordelingen kan vurdere en negativ tilfeldig variabel, s, men lognormal fordeling forutsetter bare positive tilfeldige variabler.
- En av de forskjellige applikasjonene der lognormal distribusjon brukes i økonomi der den brukes i analysen av aktiva priser. Den forventede avkastningen på eiendelene er tegnet i en normalfordeling, men prisene på eiendelene er tegnet i en lognormal fordeling.
- Ved hjelp av den lognormale distribusjonskurven kan vi enkelt beregne den sammensatte avkastningen på eiendeler over en periode.
- I tilfelle vi brukte en normalfordeling for å beregne eiendelspriser over en periode, er det muligheter for å få avkastning mindre enn -100%, som deretter forutsetter prisene på eiendeler mindre enn 0. Men hvis vi bruker lognormal fordeling for å estimere sammensatte avkastning over en periode, kan vi enkelt avverge situasjonen med å få negativ avkastning da lognormal fordeling bare vurderer positive tilfeldige variabler.
- En prisrelativ er eiendelens pris ved slutten av perioden delt på den opprinnelige prisen på eiendelen, som er lik 1 pluss avkastning i holdingsperioden. For å finne slutten av eiendelen til periodekursen, kan vi få det samme ved å multiplisere det med relativ pris ganger den opprinnelige aktiva-prisen. Lognormal fordeling tar bare positiv verdi; derfor kan eiendelprisen på slutten av perioden ikke være under 0.
Logg-normal fordeling i modellering av aksjekurser
Logg-normalfordelingen har blitt brukt til modellering av sannsynlighetsfordelingen av aksjer og mange andre aktivakurser. For eksempel har vi observert at lognormalt vesen vises i Black-Scholes-Merton opsjonsprismodellen, hvor det er en antagelse om at prisen på et underliggende aktivaopsjon er lognormalt fordelt samtidig.
Konklusjon
- Normalfordelingen er sannsynlighetsfordelingen, som sies å være den asymmetriske og klokkeformede kurven. I en normalfordeling faller 69% av utfallet innenfor ett standardavvik, og 95% faller innenfor de to standardavvikene.
- På grunn av populariteten til normalfordeling er de fleste kjent med konseptet og anvendelsen av normalfordeling, men på det tidspunktet virker de ikke like kjent med begrepet lognormal distribusjon. Normalfordelingen kan konverteres til lognormal distribusjon ved hjelp av logaritmer, som blir det grunnleggende grunnlaget da lognormale distribusjoner anser den eneste tilfeldige variabelen som er normalt distribuert.
- Lognormale fordelinger kan brukes sammen med normalfordelingen. Lognormale fordelinger er resultatet av å anta ln, naturlig logaritme der basen er lik e = 2.718. I tillegg til den gitte basen, kan den lognormale fordelingen gjøres ved hjelp av en annen base, som senere vil påvirke formen på den lognormale fordelingen.
- Den lognormale fordelingen graver loggen over normalt distribuerte tilfeldige variabler fra normalfordelingskurvene. Ln, den naturlige loggen er kjent e, eksponent som en base skal heves for å få den ønskede tilfeldige variabelen x, som kan bli funnet på normalfordelingskurven.
