Hva er Bootstrapping Yield Curve?
Bootstrapping er en metode for å konstruere en rentekurve med null kupong. Følgende eksempler på bootstrapping gir en oversikt over hvordan en avkastningskurve er konstruert. Selv om ikke alle variasjoner kan forklares, da det er mange metoder i bootstrapping på grunn av forskjeller i konvensjoner som brukes.
Topp 3 eksempler på Bootstrapping Yield Curve i Excel
Følgende er eksempler på bootstrapping avkastningskurve i excel.
Eksempel 1
Vurder forskjellige obligasjoner med en pålydende verdi på $ 100, med avkastning til forfall lik kupongrenten. Kupongdetaljene er som nedenfor:
| Modenhet | 0,5 år | 1 år | 1,5 år | 2 år |
| Avkastning til modenhet | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Løsning:
Nå, for en nullkupong med en løpetid på 6 måneder, vil den motta en enkelt kupong som tilsvarer obligasjonsrenten. Derfor vil spotrenten for 6-måneders nullkupongobligasjon være 3%.
For en ettårig obligasjon vil det være to kontantstrømmer, 6 måneder og 1 år.
Kontantstrømmen etter 6 måneder vil være (3,5% / 2 * 100 = $ 1,75) og kontantstrømmen etter ett år vil være (100 + 1,75 = $ 101,75), dvs. hovedbetalingen pluss kupongbetalingen.
Fra 0,5-års løpetid er spotrenten eller diskonteringsrenten 3%, og la oss anta at diskonteringsrenten for 1-års løpetid er x%, så
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1.0353
- 1 + x% / 2 = (1.0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1.0175
- x% = (1.0175-1) * 2
- x% = 3,504%
Å løse ovenstående ligning får vi x = 3,504%
Nå igjen for en 2-årig obligasjons løpetid,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2.955665025 + 2.897579405 + 2.805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8.658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91.3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91.3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1.127635858
- (1 + x / 2) = 1.127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1.030486293
- x = 1.030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
Å løse for x får vi, x = 6,097%
Tilsvarende for en løpetid på 1,5 år
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
Å løse ovenstående ligning får vi x = 4,526%
Dermed vil kurvene med null avkastning være:
| Modenhet | Nullpriser |
| 0,5 år | 3% |
| 1 år | 3,50% |
| 1,5 år | 4,53% |
| 2 år | 6,10% |
Eksempel 2
La oss vurdere et sett med nullkupongobligasjoner med pålydende verdi $ 100, med løpetid 6 måneder, 9 måneder og 1 år. Obligasjonene er nullkupong, det vil si at de ikke betaler noen kupong i løpet av oppholdet. Prisene på obligasjonene er som følger:
| Modenhet | Pris ($) | |
| Måneder | 6 | 99 |
| Måneder | 9 | 98,5 |
| År | 1 | 97,35 |
Løsning:
Vurderer en lineær rentekonvensjon,
FV = Pris * (1+ r * t)Der r er nullkupongrenten, er t tiden
Dermed for 6-måneders periode:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
For 9-måneders tenure:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
For 1-årig ansettelse:
- 100 = 97,35 * (1 + R 12 * 6/12 )
- R 12 = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
Derfor vil de oppstartede rentekursene for nullkuponger være:
| Modenhet | Null kupong (priser) |
| 6 måneder | 2,02% |
| 9 måneder | 2,03% |
| 1 år | 2,72% |
Merk at forskjellen mellom første og andre eksempel er at vi har vurdert nullkupongrentene som lineære i eksempel 2, mens de er sammensatt i eksempel 1.
Eksempel 3
Selv om dette ikke er et direkte eksempel på en bootstrapping avkastningskurve, må man noen ganger finne frekvensen mellom to løpetider. Vurder nullrentekurven for følgende løpetider.
| Modenhet | Null kupong (priser) |
| 6 | 2,50% |
| 1 år | 3,50% |
| 3 år | 5% |
| 4 år | 5,50% |
Nå, hvis man trenger nullkupongrenten for 2-års løpetid, må han interpolere nullrentene lineært mellom 1 år og 3 år.
Løsning:
Beregning av diskonteringsrente på null år i 2 år -
Nullkupongrente i 2 år = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2- 1) / (3 - 1) = 3,5% + 0,75%
Nullkupongrate i 2 år = 4,25%
Derfor vil nullkupongdiskonteringsrenten som skal brukes på den 2-årige obligasjonen være 4,25%
Konklusjon
Bootstrap-eksemplene gir et innblikk i hvordan nullrenter beregnes for prising av obligasjoner og andre finansielle produkter. Man må se på markedskonvensjonene riktig for riktig beregning av nullrentene.
