Formel for å beregne binomialfordeling
Binomial Distribution Formula brukes til å beregne sannsynligheten for å få x suksesser i n-forsøkene i binomialeksperimentet som er uavhengige, og sannsynligheten er avledet av en kombinasjon mellom antall forsøk og antall suksesser representert med nCx multipliseres med sannsynligheten for suksessen til makt av antall suksesser representert av px som ytterligere multipliseres med sannsynligheten for at feilen heves til makt for forskjell mellom antall suksesser og antall forsøk representert med (1-p) nx.
Sannsynligheten for å oppnå x suksesser i n uavhengige studier av et binomialeksperiment er gitt av følgende formel for binomialfordeling:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
hvor p er sannsynligheten for suksess
I ovenstående ligning brukes n C x , som ikke er noe annet enn en kombinasjonsformel. Formelen for å beregne kombinasjoner er gitt som n C x = n! / x! (nx)! hvor n representerer antall elementer (uavhengige forsøk), og x representerer antall elementer som blir valgt om gangen (suksesser).
I tilfelle n = 1 i en binomial fordeling, er fordelingen kjent som Bernoulli-fordeling. Gjennomsnittet av en binomial fordeling er np. Variansen i binomialfordelingen er np (1-p).
Beregning av binomialfordeling (trinnvis)
Beregningen av binomialfordeling kan utledes ved hjelp av følgende fire enkle trinn:
- Trinn 1: Beregn kombinasjonen mellom antall forsøk og antall suksesser. Formelen for n C x er der n! = n * (n-1) * (n-2) … * 2 * 1. For et tall n kan faktoren til n skrives som n! = n * (n-1)! For eksempel 5! er 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Trinn 2: Beregn sannsynligheten for suksess økt til antall suksesser som er p x .
- Trinn 3: Beregn sannsynligheten for svikt som er økt til kraften til forskjellen mellom antall suksesser og antall forsøk. Sannsynligheten for feil er 1-p. Dermed refererer dette til å oppnå (1-p) nx
- Trinn 4: Finn ut produktet av resultatene oppnådd i trinn 1, trinn 2 og trinn 3.
Eksempler
Eksempel 1
Antall forsøk (n) er 10. Sannsynligheten for suksess (p) er 0,5. Gjør beregningen av binomialfordeling for å beregne sannsynligheten for å få nøyaktig seks suksesser.
Løsning:
Bruk følgende data for beregning av binomialfordeling.
Beregning av binomialfordeling kan gjøres som følger,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Sannsynligheten for å få nøyaktig 6 suksesser vil være-
P (x = 6) = 0,2051
Sannsynligheten for å få nøyaktig 6 suksesser er 0,2051
Eksempel 2
En leder i et forsikringsselskap går gjennom dataene om forsikringer som selges av forsikringsselgere som jobber under ham. Han finner at 80% av menneskene som kjøper bilforsikring er menn. Han vil finne ut at hvis 8 bilforsikringseiere velges tilfeldig, hva er sannsynligheten for at nøyaktig 5 av dem er menn.
Løsning: Vi må først finne ut hva som er n, p og x.
Beregning av binomialfordeling kan gjøres som følger,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0.32768 * (0.2) 3
= 56 * 0,33268 * 0,008
Sannsynligheten for nøyaktig 5 suksesser vil være-
P (x = 5) = 0,14680064
Sannsynligheten for at nøyaktig 5 bilforsikringseiere er menn er 0.14680064.
Eksempel 3
Sykehusledelsen er begeistret over innføringen av et nytt medikament for behandling av kreftpasienter, da sjansen for at en person blir behandlet av det er veldig høy. Sannsynligheten for at en pasient blir vellykket behandlet av legemidlet er 0,8. Legemidlet gis til 10 pasienter. Finn sannsynligheten for at 9 eller flere pasienter blir vellykket behandlet av den.
Løsning: Vi må først finne ut hva som er n, p og x.
Vi må finne sannsynligheten for at 9 eller flere pasienter blir vellykket behandlet av den. Dermed blir enten 9 eller 10 pasienter vellykket behandlet av den
x (et tall du må finne en sannsynlighet for) = 9 eller x = 10
Vi må finne P (9) og P (10)
Beregning av binomialfordeling for å finne P (x = 9) kan gjøres som følger,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Sannsynligheten for 9 pasienter vil være-
P (x = 9) = 0,2684
Beregning av binomialfordeling for å finne P (x = 10) kan gjøres som følger,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Sannsynligheten for 10 pasienter vil være-
P (x = 10) = 0,1074
Derfor er P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Dermed er sannsynligheten for at 9 eller flere pasienter blir behandlet av legemidlet 0,375809638.
Binomial Distribution Calculator
Du kan bruke følgende binomialfordelings kalkulator.
| n | |
| s | |
| x | |
| Binomial distribusjonsformel = | |
| Binomial distribusjonsformel = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Relevans og bruk
- Det er bare to utfall
- Sannsynligheten for hvert utfall forblir konstant fra prøve til prøve
- Det er et fast antall forsøk
- Hver rettssak er uavhengig, dvs. gjensidig utelukkende av andre
- Det gir oss frekvensfordelingen av det mulige antall vellykkede utfall i et gitt antall forsøk hvor hver av disse gitte forsøkene har samme sannsynlighet for suksess.
- Hver prøve i et binomialeksperiment kan resultere i bare to mulige resultater. Derfor er navnet 'binomial'. En av disse resultatene er kjent som suksess og den andre som en fiasko. For eksempel kan personer som er syke svare på en behandling eller ikke.
- På samme måte, når vi kaster en mynt, kan vi bare ha to typer utfall: hoder eller haler. Binomialfordelingen er en diskret distribusjon brukt i statistikk, som er forskjellig fra en kontinuerlig fordeling.
Et eksempel på et binomialeksperiment er å kaste en mynt, si tre ganger. Når vi vender en mynt, er bare to utfall mulig - hoder og haler. Sannsynligheten for hvert utfall er 0,5. Siden mynten kastes tre ganger, er antall forsøk løst, det vil si 3. Sannsynligheten for hvert kast er ikke påvirket av andre kast.
Binomial distribution finner sine applikasjoner i samfunnsvitenskapelig statistikk. Den brukes til å utvikle modeller for dikotome utfallsvariabler der det er to utfall. Et eksempel på dette er om republikanere eller demokrater ville vinne valget.
Binomial distribusjonsformel i Excel (med excel-mal)
Saurabh lærte om binomialfordelingsligningen på skolen. Han vil diskutere konseptet med søsteren og satse med henne. Han trodde at han ville kaste en upartisk mynt ti ganger. Han vil satse $ 100 på å få nøyaktig fem haler på 10 kast. For dette spillet vil han beregne sannsynligheten for å få nøyaktig fem haler på 10 kast.
Løsning: Vi må først finne ut hva som er n, p og x.
Det er en innebygd formel for binomial distribusjon er Excel, som er
Det er BINOM.DIST (antall suksesser, forsøk, sannsynlighet for suksess, FALSE).
For dette eksemplet på binomialfordeling vil være:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) der celle B2 representerer antall suksesser, celle B3 representerer antall forsøk, og celle B4 representerer sannsynligheten for suksess.
Derfor vil beregningen av Binomial Distribution være-
P (x = 5) = 0,24609375
Sannsynligheten for å få nøyaktig 5 haler i 10 kast er 0,24609375
Merk: FALSE i formelen ovenfor angir sannsynlighetsmassefunksjonen. Den beregner sannsynligheten for at det blir nøyaktig n suksess fra n uavhengige studier. TRUE betegner den kumulative fordelingsfunksjonen. Den beregner sannsynligheten for at det maksimalt blir x suksesser fra n uavhengige studier.
