Hva er konveksiteten til en obligasjon?
Konveksitet av en obligasjon er et mål som viser forholdet mellom obligasjonspris og obligasjonsrente, dvs. endringen i obligasjonens varighet på grunn av en endring i renten, som hjelper et risikostyringsverktøy til å måle og administrere porteføljens eksponering for renterisiko og risiko for tap av forventning
Forklaring
Som vi vet er obligasjonsprisen og avkastningen omvendt relatert, dvs. når renten øker, faller prisen. Dette forholdet er imidlertid ikke en rett linje, men er en konveks kurve. Konveksitet måler krumningen i dette forholdet, dvs. hvordan varigheten endres med en endring i avkastningen på obligasjonen.
Varigheten av en obligasjon er det lineære forholdet mellom obligasjonsprisen og rentene, der obligasjonsprisen synker når renten øker. Enkelt sagt, en høyere varighet innebærer at obligasjonsprisen er mer følsom for renteendringer. For en liten og plutselig endring i obligasjonen er rentetiden et godt mål på følsomheten til obligasjonsprisen. For større endringer i avkastning er imidlertid varighetstiltaket ikke effektivt da forholdet er ikke-lineært og er en kurve. Det er fire forskjellige typer varighetstiltak, nemlig Macaulays varighet, modifisert varighet, effektiv varighet og nøkkelrente, som alle måler hvor lang tid det tar før obligasjonsprisen betales av de interne kontantstrømmene. Det de skiller er i hvordan de behandler renteendringer, innebygde obligasjonsopsjoner og innløsningsopsjoner. De imidlertidikke ta hensyn til det ikke-lineære forholdet mellom pris og avkastning.
Konveksitet måler følsomheten til obligasjonens varighet for endring er avkastning. Konveksitet er et godt mål for obligasjonsprisendringer med større svingninger i rentene. Matematisk sett er konveksitet det andre derivatet av formelen for endring i obligasjonspriser med endring i renten og et første derivat av varighetsligningen.
Bond Convexity Formula
Beregning av konveksitetseksempel
For en obligasjon med pålydende verdi USD 1000 med en halvårlig kupong på 8,0% og en avkastning på 10% og 6 år til forfall og en nåværende pris på 911,37, er varigheten 4,82 år, den modifiserte varigheten er 4,59, og beregning for konveksitet ville være:
Årlig konveksitet : halvårlig konveksitet / 4 = 26.2643 halvårlig konveksitet : 105.0573
I eksemplet ovenfor kan en konveksitet på 26,2643 brukes til å forutsi prisendringen for en 1% endring i avkastningen vil være:
Hvis den eneste modifiserte varigheten brukes:
Endring i pris = - Modifisert varighet * Endring i avkastning
Prisendring for 1% økning i avkastning = (- 4,59 * 1%) = -4,59%
Så prisen vil reduseres med 41,83
For å imøtekomme den konvekse formen på grafen, endres prisformelen til:
Endring i pris = ( - Modifisert varighet * Endring i avkastning ) + ( 1/2 * Konveksitet * (endring i utbytte) 2 )
Prisendring for 1% økning i avkastning = (-4,59 * 1%) + (1/2 * 26,2643 * 1%) = -4,46%
Så prisen ville redusert med bare 40,64 i stedet for 41,83
Dette viser hvordan den forutsagte prisnedgangen for den samme 1% økningen i avkastningen endres hvis den eneste varigheten brukes mot når også konveksiteten i prisavkastningskurven blir justert.
Så prisen ved en 1% økning i avkastningen som forutsagt av modifisert varighet er 869,54, og som forutsagt ved bruk av modifisert varighet og konveksitet av obligasjonen er 870,74. Denne forskjellen på 1,12 i prisendringen skyldes at prisavkastningskurven ikke er lineær som antatt av varighetsformelen.
Formel for tilnærming av konveksitet
Som det fremgår av konveksitetsberegningen, kan det være ganske kjedelig og lang, spesielt hvis obligasjonen er langsiktig og har mange kontantstrømmer. Formelen for tilnærming av konveksitet er som følger:
Konveksitet og risikostyring
Som det fremgår av formelen, er konveksitet en funksjon av obligasjonsprisen, YTM (Yield to meturity), Time to forfall, og summen av kontantstrømmene. Antall kupongstrømmer (kontantstrømmer) endrer varigheten og dermed konveksiteten til obligasjonen. Varigheten av en nullobligasjon er lik tiden til forfall, men ettersom det fortsatt eksisterer et konveks forhold mellom pris og avkastning, har nullkupongobligasjoner den høyeste konveksiteten og prisene som er mest følsomme for endringer i avkastningen.
I grafen ovenfor er obligasjon A mer konveks enn obligasjon B, selv om de begge har samme varighet, og dermed er obligasjon A mindre påvirket av renteendringer.
Konveksitet er et risikostyringsverktøy som brukes til å definere hvor risikabelt en obligasjon er så mer konveksiteten til obligasjonen; mer er prisfølsomheten overfor rentebevegelser. En obligasjon med høyere konveksitet har større prisendring når renten faller enn en obligasjon med lavere konveksitet. Derfor når to lignende obligasjoner vurderes for investering med lik avkastning og varighet, foretrekkes den med høyere konveksitet i stabile eller fallende rentescenarier ettersom prisendringen er større. I et fallende rentescenario igjen vil en høyere konveksitet være bedre ettersom kurstapet for en økning i renten vil være mindre.
Positiv og negativ konveksitet
Konveksitet kan være positiv eller negativ. En obligasjon har positiv konveksitet hvis avkastningen og varigheten av obligasjonen øker eller reduseres sammen, dvs. de har en positiv sammenheng. Rentekurven for dette beveger seg vanligvis oppover. Denne typen er for en obligasjon som ikke har anskaffelses- eller forhåndsbetalingsalternativ. Obligasjoner har negativ konveksitet når avkastningen øker, varigheten avtar, det vil si at det er en negativ sammenheng mellom avkastning og varighet, og rentekurven beveger seg nedover. Dette er vanligvis obligasjoner med kjøpsopsjoner, pantepapirer og de obligasjoner som har tilbakebetalingsalternativer. Hvis obligasjonen med forskuddsbetaling eller kjøpsopsjon har en premie som skal betales for tidlig utgang, kan konveksiteten bli positiv.
Kupongutbetalingene og periodisiteten til innbetalingen av obligasjonen bidrar til konveksiteten i obligasjonen. Hvis det er flere periodiske kupongbetalinger over obligasjonens levetid, er konveksiteten høyere, noe som gjør det mer immun mot renterisiko, ettersom de periodiske betalingene hjelper til med å negere effekten av endringen i markedsrentene. Hvis det er en engangsbetaling, er konveksiteten minst, noe som gjør det til en mer risikabel investering.
Konveksitet i en obligasjonsportefølje
For en obligasjonsportefølje vil konveksiteten måle risikoen for at alle obligasjonene settes sammen og er det vektede gjennomsnittet av de enkelte obligasjonene uten obligasjoner eller markedsverdien av obligasjonene som brukes som vekter.
Selv om konveksitet tar hensyn til den ikke-lineære formen på pris-avkastningskurven og justerer for prediksjonen for prisendring, er det fortsatt en del feil igjen, siden det bare er det andre derivatet av pris-avkastningsligningen. For å få en mer nøyaktig pris for endring i avkastning, vil det å legge til neste derivat gi en pris mye nærmere den faktiske prisen på obligasjonen. I dag med sofistikerte datamodeller som forutsier priser, er konveksitet mer et mål på risikoen for obligasjonen eller obligasjonsporteføljen. Mer konveks obligasjon eller obligasjonsportefølje mindre risikabelt; det er ettersom prisendringen for en reduksjon i renten er mindre. Så obligasjon, som er mer konveks, vil ha lavere avkastning ettersom markedsprisene har lavere risiko.
Renterisiko og konveksitet
Risikomåling for en obligasjon innebærer en rekke risikoer. Disse inkluderer, men er ikke begrenset til:
- Markedsrisiko som endres i markedsrenten på en ulønnsom måte
- Forutbetalingsrisiko som er obligasjonen, blir tilbakebetalt tidligere enn forfallsdatoen, og forstyrrer derfor kontantstrømmene
- Standardrisiko som er obligasjonsutsteder, vil ikke betale renter eller hovedbeløp
Renterisikoen er en universell risiko for alle obligasjonseiere, da all økning i renten vil redusere prisene, og all reduksjon i renten vil øke prisen på obligasjonen. Denne renterisikoen måles etter modifisert varighet og blir ytterligere raffinert av konveksitet. Konveksitet er et mål på systemisk risiko ettersom den måler effekten av endring i obligasjonsporteføljens verdi med større endring i markedsrenten mens modifisert varighet er nok til å forutsi mindre endringer i renten.
Som nevnt tidligere er konveksitet positiv for vanlige obligasjoner, men for obligasjoner med opsjoner som konverterbare obligasjoner, pantelånesikrede verdipapirer (som har en forhåndsbetalingsopsjon), har obligasjonene negativ konveksitet til lavere renter når forskuddsbetalingsrisikoen øker. For slike obligasjoner med negativ konveksitet øker ikke prisene vesentlig med en reduksjon i renten da kontantstrømmene endres på grunn av forskuddsbetaling og tidlige anrop.
Når kontantstrømmen er mer spredt, øker konveksiteten når renterisikoen øker med flere hull mellom kontantstrømmene. Så konveksitet som et mål er mer nyttig hvis kupongene er mer spredte og har mindre verdi. Hvis vi har en nullkupongobligasjon og en portefølje av nullkupongobligasjoner, er konveksiteten som følger:
- varigheten på nullkupongobligasjonen som er lik løpetiden (ettersom det bare er en kontantstrøm) og dermed er konveksiteten veldig høy
- mens varigheten av nullkupongporteføljen kan justeres til den for en enkelt nullkupongobligasjon ved å variere nominell og løpetidsverdi for nullkupongobligasjonene i porteføljen. Imidlertid er konveksiteten i denne porteføljen høyere enn den eneste nullkupongobligasjonen. Dette er fordi kontantstrømmene til obligasjonene i porteføljen er mer spredt enn for en enkelt nullkupongobligasjon.
Konveksitet av obligasjoner med salgsopsjon er positiv, mens obligasjon med kjøpsopsjon er negativ. Dette er fordi når et salgsopsjon er i pengene, så hvis markedet går ned, kan du sette obligasjonen, eller hvis markedet går opp, beholder du alle kontantstrømmene. Dette gjør konveksiteten positiv. Imidlertid, eller en obligasjon med en kjøpsopsjon, vil utstederen ringe obligasjonen hvis markedsrenten synker, og hvis markedsrenten øker, vil kontantstrømmen bli bevart. På grunn av den mulige endringen i kontantstrømmer er obligasjonens konveksitet negativ ettersom rentene reduseres.
Den målte konveksiteten på obligasjonen når det ikke er noen forventet endring i fremtidige kontantstrømmer kalles modifisert konveksitet. Når det forventes endringer i fremtidige kontantstrømmer, er konveksiteten som måles den effektive konveksiteten.
Konklusjon
Konveksitet oppstår på grunn av formen på pris-avkastningskurven. Hvis markedsavkastningsgrafen var flat og alle prisendringer var parallelle skift, jo mer konveks porteføljen, jo bedre ville den prestere, og det ville ikke være noe sted for arbitrage. Når rentekurven er buet, er imidlertid rentekurven for langsiktige obligasjoner pukkelformet for å imøtekomme den lavere konveksiteten i sistnevnte periode.
Til slutt er konveksitet et mål på obligasjonen eller porteføljens rentesensitivitet og bør brukes til å evaluere investering ut fra risikoprofilen til investoren.
relaterte artikler
- Modenhetsverdi
- ABS og MBS-indeks
- Obligasjonspriser
- Regnskap for konvertible obligasjoner
