Formel for å beregne Z-Score
Z-poengsum for rådata refererer til poengsummen som genereres ved å måle hvor mange standardavvik over eller under populasjonsgjennomsnittet som er dataene, noe som hjelper til å teste hypotesen under vurdering. Med andre ord er det avstanden til et datapunkt fra populasjonsgjennomsnittet som uttrykkes som et multiplum av standardavviket.
- Z-score varierer i området -3 ganger standardavviket (helt til venstre for normalfordelingen) til +3 ganger standardavviket (helt til høyre for normalfordelingen).
- Z-score har et gjennomsnitt på 0 og et standardavvik på 1.
Ligningen for z-poengsum for et datapunkt beregnes ved å trekke populasjonsgjennomsnittet fra datapunktet (referert til som x ), og deretter blir resultatet delt med populasjonsstandardavviket. Matematisk er det representert som,
Z Score = (x - μ) / ơ
hvor
- x = Datapunkt
- μ = Gjennomsnitt
- ơ = Standardavvik
Beregning av Z-poeng (trinnvis)
Ligningen for z-poengsummen til et datapunkt kan utledes ved hjelp av følgende trinn:
- Trinn 1: For det første bestemme gjennomsnittet av datasettet basert på datapunktene eller observasjonene, som er betegnet med x i , mens det totale antallet datapunkter i datasettet er betegnet med N.
- Trinn 2: Deretter bestemmer du standardavviket til populasjonen på grunnlag av populasjonsgjennomsnittet μ, datapunkter x i og antall datapunkter i populasjonen N.
- Trinn 3: Til slutt blir z-poengsummen avledet ved å trekke gjennomsnittet fra datapunktet, og deretter blir resultatet delt med standardavviket, som vist nedenfor.
Eksempler
Eksempel 1
La oss ta eksemplet med en klasse på 50 studenter som har skrevet naturfagstesten forrige uke. I dag er resultatdagen, og klasselæreren fortalte meg at John scoret 93 i testen mens gjennomsnittspoengene i klassen var 68. Bestem z-poengsummen for Johns testmerke hvis standardavviket er 13.
Løsning:
Gitt,
- Johns testresultat, x = 93
- Gjennomsnitt, μ = 68
- Standardavvik, ơ = 13
Derfor kan z-poengsummen for Johns testpoeng beregnes ved hjelp av formelen ovenfor som,
Z = (93 - 68) / 13
Z-poengsummen vil være -
Z-poengsum = 1,92
Derfor er Johns Ztest-poengsum 1,92 standardavvik over gjennomsnittets poengsum i klassen, noe som betyr at 97,26% av klassen (49 studenter) scoret mindre enn John.
Eksempel 2
La oss ta et annet detaljert eksempel på 30 studenter (da z-test ikke passer for mindre enn 30 datapunkter) som dukket opp for en klassetest. Bestem z-test poengsum for 4 th studerer basert på merkene skåres av elevene ut fra 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Løsning:
Gitt,
- x = 65,
- 4 th student scoret = 65,
- Antall datapunkter, N = 30.
Gjennomsnitt = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Gjennomsnitt = 71,30
Nå kan standardavviket beregnes ved å bruke formelen som vist nedenfor,
ơ = 13,44
Derfor kan Z-poengsummen til den fjerde studenten beregnes ved hjelp av formelen ovenfor som,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Derfor er 4 th er studentens stillingen 0,47 standardavvik under gjennomsnittet stillingen av klassen, hvilket betyr at 31,92% av klassen (10 studenter) mottok mindre enn 4 th student som per z score tabellen.
Z-poeng i Excel (med Excel-mal)
La oss nå ta saken som er nevnt i eksempel 2 for å illustrere begrepet z-score i excel-malen nedenfor.
Nedenfor er det gitt data for beregningen av Z-poengsummen.
Du kan referere til det gitte excel-arket nedenfor for detaljert beregning av Z Score Formula Test Statistics.
Relevans og bruksområder
Fra perspektivet av hypotesetesting er z-score et veldig viktig begrep å forstå fordi det brukes til å teste om en teststatistikk faller innenfor akseptabelt verdiområde. Z-poengsummen brukes også til å standardisere data før analyse, beregne sannsynligheten for en poengsum eller sammenligning av to eller flere datapunkter, som er fra forskjellige normale fordelinger. Det er mangfoldig anvendelse av z-score på tvers av felt hvis det brukes riktig.
