Eulers Totient Funksjon - Betydning, eksempler, hvordan beregner jeg?

Innholdsfortegnelse

Hva er Eulers Totient-funksjon?

Eulers Totient-funksjon er de matematiske multiplikasjonsfunksjonene som teller de positive heltallene opp til det gitte heltallet som vanligvis kalles 'n' som er et primtall til 'n' og funksjonen brukes til å kjenne antall primtall som eksisterer opp til gitt heltall 'n'.

Forklaring

Å vite hvor mange primtall som kommer opp til det gitte heltallet 'n' Eulers Totient Function brukes. Det kalles også en aritmetisk funksjon. For en applikasjon eller bruk av Eulers Totient-funksjon er to ting viktige. Den ene er at gcd dannet fra gitt heltall 'n' skal være multiplikativ med hverandre, og den andre er at antall gcd bare skal være primtallene. Heltallet 'n' i dette tilfellet skal være mer enn 1. Fra et negativt heltall er det ikke mulig å beregne Eulers Totient Funksjon. Prinsippet, i dette tilfellet, er at for ϕ (n) skal multiplikatorene kalt m og n være større enn 1. Betegnet med 1

Historie

Euler introduserte denne funksjonen i 1763. Til å begynne med brukte Euler det greske π for å betegne funksjonen, men på grunn av noen problemer fikk ikke denotasjonen hans av gresk π anerkjennelsen. Og han klarte ikke å gi det riktig notasjonstegn, dvs. ϕ. Derfor kan ikke funksjonen innføres. Videre ble ϕ hentet fra Gauss's 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Funksjonen blir også betegnet som phi-funksjon. Men JJ Sylvester inkluderte i 1879 begrepet totient for denne funksjonen på grunn av egenskaper og bruken av funksjonene. De forskjellige reglene er innrammet for å håndtere forskjellige typer heltall gitt som om heltall p er et primtall, så hvilken regel som skal brukes, etc. alle reglene er innrammet av Euler er praktiske og kan brukes selv i dag mens vi arbeider med samme.

Egenskaper til Eulers Totient-funksjon

Det er noen av de forskjellige egenskapene. Noen av egenskapene til Eulers totientfunksjon er som under:

  • Φ er symbolet som brukes til å betegne funksjonen.
  • Funksjonen tar for seg primtallens teori.
  • Funksjonen gjelder bare for positive heltall.
  • For ϕ (n) er det å finne to multiplikative primtall for å beregne funksjonen.
  • Funksjonen er en matematisk funksjon og nyttig på mange måter.
  • Hvis heltall 'n' er et primtall, er gcd (m, n) = 1.
  • Funksjonen fungerer på formelen 1 <m <n der m og n er primtall og multiplikasjonstall.
  • Generelt er ligningen
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funksjonen teller i utgangspunktet antall positive heltall mindre enn det gitte heltallet, som er relativt primtall til det gitte heltallet.
  • Hvis gitt heltall p er primær, er ϕ (p) = p - 1
  • Hvis kraften til p er primær, så hvis a = p n er en primæreffekt, så er ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) er ikke en - en
  • ϕ (n) er ikke på.
  • ϕ (n), n> 3 er alltid jevn.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Beregn Eulers Totient-funksjon

Eksempel 1

Beregn ϕ (7)?

Løsning:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Ettersom alle tallene er primtall til 7, ble det derfor enkelt å beregne ϕ.

Eksempel 2

Beregn ϕ (100)?

Løsning:

Da 100 er stort tall, er det derfor tidkrevende å beregne fra 1 til 100 primtallene som er primtall med 100. Derfor bruker vi formelen nedenfor:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1-1 - / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Eksempel 3

Beregn ϕ (240)?

Multipler på 240 er 16 * 5 * 3, dvs. 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1-1 - / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

hvis n M ikke er primtall, bruker vi n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Eksempel 4

Beregn ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

applikasjoner

De forskjellige applikasjonene er som under:

  • Funksjonen brukes til å definere RSA-krypteringssystem som brukes til kryptering av internett-sikkerhet.
  • Brukes i teorien om primtall.
  • Brukes også i store beregninger.
  • Brukes i anvendelser av elementær tallteori.

Konklusjon

Eulers totient-funksjon er nyttig på mange måter. Den brukes i RSA-krypteringssystemet, som brukes av sikkerhetsøyemed. Funksjonen tar for seg primtallsteorien, og den er også nyttig i beregningen av store beregninger. Funksjonen brukes også i algebraiske beregninger og elementære tall. Symbolet som brukes til å betegne funksjonen er ϕ, og det kalles også en phi-funksjon. Funksjonen består av mer teoretisk bruk i stedet for praktisk bruk. Den praktiske bruken av funksjonen er begrenset. Funksjonen kan forstås bedre gjennom de forskjellige praktiske eksemplene i stedet for bare teoretiske forklaringer. Det er forskjellige regler for beregning av Eulers totientfunksjon, og for forskjellige tall skal forskjellige regler brukes. Funksjonen ble først introdusert i 1763, men på grunn av noen problemer,den fikk anerkjennelse i 1784, og navnet ble endret i 1879. Funksjonen er en universell funksjon og kan brukes overalt.

Interessante artikler...